Кол-во функций:

Онлайн калькулятор графиков функций

Построить график функции — это бесплатный интерактивный инструмент, который позволяет строить графики любых математических функций прямо в браузере, без установки программ. С его помощью вы можете визуализировать поведение функций, анализировать их свойства и наглядно видеть зависимость между переменными.

Калькулятор поддерживает построение графиков линейных, квадратных, кубических, показательных, логарифмических, тригонометрических, модульных и составных функций. Он подходит для школьников, студентов, преподавателей и всех, кто изучает или применяет математику.

Кому полезен калькулятор

Школьникам — для подготовки к контрольным, ЕГЭ, ДПА, олимпиадам и домашним заданиям.
Студентам — при изучении высшей математики, анализа функций и сложных выражений.
Преподавателям — для наглядной демонстрации графиков на занятиях.
Самоучкам и родителям — для понятного объяснения математических тем.

Примеры решаемых задач

Построение графика функции и нахождение её нулей
Определение промежутков знакопостоянства
Анализ симметрии и периодичности
Нахождение точек пересечения функций
Проверка решений уравнений и неравенств через график

Возможности калькулятора

Построение нескольких функций на одном графике
Поддержка модулей, корней, степеней, логарифмов и тригонометрии
Интерактивное управление: зум, прокрутка, изменение области просмотра
Подсветка нулей функции, пересечений с осями и экстремумов
Гибкий ввод формул: sin, cos, sqrt, abs, exp
Работа на ПК, планшетах и смартфонах без установки
Поддержка констант: PI (π ≈ 3.14159), E (e ≈ 2.71828)

Как пользоваться

Введите формулу функции (например: y = 2*x + 3)
Нажмите кнопку «Построить»
Анализируйте график и его свойства
При необходимости используйте кнопку «Очистить»

Типовые функции

Тип функции	Формула	Пример для ввода	Особенности
Алгебраические функции
Линейная	y = kx + b	`2 * x - 1`	Прямая линия
Парабола	y = ax² + bx + c	`x^2 - 3 * x + 2`	Квадратичная; ветви вверх/вниз
Кубическая	y = ax³ + …	`x^3 - x`	Точка перегиба; нечётная при a·x³
Гипербола	y = k / x	`1 / x`	Вертикальная асимптота x = 0
Степенная	y = xⁿ	`x^4`	Чётная/нечётная в зависимости от n
Обратная степенная	y = x⁻ⁿ	`x^(-2)`	Эквивалент 1 / x²; асимптота при x = 0
Квадратный корень	y = √x	`sqrt(x)`	Область определения x ≥ 0
Кубический корень	y = ∛x	`cbrt(x)`	Определена для всех x; нечётная
Модуль	y = \|x\|	`abs(x)`	Всегда y ≥ 0; излом в x = 0
Показательные и логарифмические
Показательная	y = a^x	`2^x`	Быстрый рост; всегда y > 0
Экспонента	y = e^x	`exp(x)`	Основание e ≈ 2.718
Натуральный логарифм	y = ln x	`log(x)`	В function-plot `log` = ln; x > 0
Десятичный логарифм	y = log₁₀ x	`log(x) / log(10)`	Через замену основания; x > 0
Логарифм по основанию 2	y = log₂ x	`log(x) / log(2)`	Через замену основания; x > 0
Тригонометрические (аргумент в радианах)
Синус	y = sin x	`sin(x)`	Период 2π; диапазон [−1, 1]
Косинус	y = cos x	`cos(x)`	Период 2π; диапазон [−1, 1]
Тангенс	y = tg x	`tan(x)`	Вертикальные асимптоты при π/2 + πn
Котангенс	y = ctg x	`1 / tan(x)`	Асимптоты при πn; `cot` не встроен
Секанс	y = sec x	`1 / cos(x)`	Асимптоты при π/2 + πn; `sec` не встроен
Косеканс	y = csc x	`1 / sin(x)`	Асимптоты при πn; `csc` не встроен
Обратные тригонометрические
Арксинус	y = arcsin x	`asin(x)`	x ∈ [−1, 1]; y ∈ [−π/2, π/2]
Арккосинус	y = arccos x	`acos(x)`	x ∈ [−1, 1]; y ∈ [0, π]
Арктангенс	y = arctg x	`atan(x)`	Горизонтальные асимптоты ±π/2
Арккотангенс	y = arcctg x	`PI / 2 - atan(x)`	Через тождество; y ∈ (0, π)
Арксеканс	y = arcsec x	`acos(1 / x)`	\|x\| ≥ 1; через acos
Арккосеканс	y = arccsc x	`asin(1 / x)`	\|x\| ≥ 1; через asin

Как построить график синуса и косинуса

Графики тригонометрических функций y = sin x и y = cos x

Синус и косинус — две фундаментальные периодические функции, лежащие в основе тригонометрии, математического анализа и прикладных наук. Их графики — синусоида и косинусоида — представляют собой плавные волнообразные кривые, бесконечно повторяющиеся вдоль оси абсцисс. Ниже подробно разобраны все ключевые свойства обеих функций: область определения и значений, экстремумы, производные, первообразные, а также наглядные примеры с таблицами значений.

Функция y = sin x

Что представляет собой график синуса

График функции \( y = \sin x \) называется синусоидой. Это гладкая волнообразная кривая, которая колеблется между значениями \( -1 \) и \( 1 \) и повторяет свою форму через каждый период длиной \( 2\pi \). Кривая проходит через начало координат \( (0;\, 0) \), поднимается до максимума \( 1 \) в точке \( \left(\frac{\pi}{2};\, 1\right) \), возвращается к нулю в \( (\pi;\, 0) \), опускается до минимума \( -1 \) в точке \( \left(\frac{3\pi}{2};\, -1\right) \) и завершает полный цикл в \( (2\pi;\, 0) \).

Синусоида описывает огромное количество природных и технических процессов: колебания маятника, переменный электрический ток, звуковые и световые волны, приливы и отливы.

Значение каждой переменной (sin x)

\( x \) — аргумент (угол) Независимая переменная, измеряемая в радианах. Представляет собой угол поворота радиус-вектора на единичной окружности. Принимает любое действительное значение. \( y \) — значение функции Ордината точки на единичной окружности, соответствующей углу \( x \). Всегда находится в диапазоне от \( -1 \) до \( 1 \). \( 2\pi \) — период функции Наименьшее положительное число, через которое значения функции повторяются: \( \sin(x + 2\pi) = \sin x \) для любого \( x \).

Область определения (sin x)

Функция синус определена для всех действительных чисел без каких-либо ограничений:

\[ D(\sin x) = (-\infty;\, +\infty) = \mathbb{R} \]

Область значений (sin x)

Синус принимает значения исключительно в замкнутом отрезке от \( -1 \) до \( 1 \):

\[ E(\sin x) = [-1;\, 1] \]

Максимум и минимум (sin x)

Максимум: \( y_{\max} = 1 \). Достигается в точках \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
Минимум: \( y_{\min} = -1 \). Достигается в точках \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Экстремумы чередуются с интервалом \( \pi \): между каждым максимумом и ближайшим минимумом ровно половина периода.

Производная (sin x)

Производная синуса равна косинусу:

\[ (\sin x)’ = \cos x \]

Это означает, что скорость изменения синуса в каждой точке описывается функцией косинуса. В точках максимума синуса (\( \cos x = 0 \)) скорость изменения равна нулю — кривая на мгновение «останавливается» перед сменой направления.

Первообразная (sin x)

Неопределённый интеграл от синуса:

\[ \int \sin x\, dx = -\cos x + C \]

Здесь \( C \) — произвольная постоянная интегрирования.

Пример: y = sin x, таблица значений

Ниже приведены значения функции \( y = \sin x \) в характерных точках одного полного периода — от \( 0 \) до \( 2\pi \):

x	Значение аргумента	y = sin x
\( 0 \)	\( 0 \)	\( 0 \)
\( \frac{\pi}{6} \)	\( 30° \)	\( 0{,}5 \)
\( \frac{\pi}{4} \)	\( 45° \)	\( \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707 \)
\( \frac{\pi}{3} \)	\( 60° \)	\( \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866 \)
\( \frac{\pi}{2} \)	\( 90° \)	\( 1 \)
\( \pi \)	\( 180° \)	\( 0 \)
\( \frac{3\pi}{2} \)	\( 270° \)	\( -1 \)
\( 2\pi \)	\( 360° \)	\( 0 \)

Для построения графика достаточно отметить эти точки на координатной плоскости и соединить их плавной кривой. Далее волна повторяется влево и вправо с периодом \( 2\pi \).

Функция y = cos x

Что представляет собой график косинуса

График функции \( y = \cos x \) называется косинусоидой. По форме она полностью идентична синусоиде, но сдвинута влево на \( \frac{\pi}{2} \):

\[ \cos x = \sin\!\left(x + \frac{\pi}{2}\right) \]

Кривая начинается в точке \( (0;\, 1) \) — то есть при \( x = 0 \) функция сразу принимает максимальное значение. Затем она опускается до нуля в \( \left(\frac{\pi}{2};\, 0\right) \), достигает минимума \( -1 \) в \( (\pi;\, -1) \), возвращается к нулю в \( \left(\frac{3\pi}{2};\, 0\right) \) и завершает период в \( (2\pi;\, 1) \).

Косинусоида так же широко применяется в описании колебательных процессов. Выбор между синусом и косинусом зависит от начальной фазы рассматриваемого явления.

Значение каждой переменной (cos x)

\( x \) — аргумент (угол) Независимая переменная в радианах. Представляет угол поворота радиус-вектора на единичной окружности. Принимает любое действительное значение. \( y \) — значение функции Абсцисса точки на единичной окружности, соответствующей углу \( x \). Всегда находится в диапазоне от \( -1 \) до \( 1 \). \( 2\pi \) — период функции Наименьшее положительное число, через которое значения повторяются: \( \cos(x + 2\pi) = \cos x \) для любого \( x \).

Область определения (cos x)

Как и синус, косинус определён для всех действительных чисел:

\[ D(\cos x) = (-\infty;\, +\infty) = \mathbb{R} \]

Область значений (cos x)

Косинус, как и синус, принимает значения в замкнутом отрезке:

\[ E(\cos x) = [-1;\, 1] \]

Максимум и минимум (cos x)

Максимум: \( y_{\max} = 1 \). Достигается в точках \( x = 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
Минимум: \( y_{\min} = -1 \). Достигается в точках \( x = \pi + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Расстояние между соседними максимумом и минимумом равно \( \pi \) — половине периода.

Производная (cos x)

Производная косинуса равна синусу с противоположным знаком:

\[ (\cos x)’ = -\sin x \]

В точках максимума косинуса значение \( -\sin x = 0 \), что соответствует нулевой скорости изменения — кривая плавно меняет направление.

Первообразная (cos x)

Неопределённый интеграл от косинуса:

\[ \int \cos x\, dx = \sin x + C \]

Здесь \( C \) — произвольная постоянная интегрирования.

Пример: y = cos x, таблица значений

Значения функции \( y = \cos x \) в характерных точках одного полного периода — от \( 0 \) до \( 2\pi \):

x	Значение аргумента	y = cos x
\( 0 \)	\( 0° \)	\( 1 \)
\( \frac{\pi}{6} \)	\( 30° \)	\( \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866 \)
\( \frac{\pi}{4} \)	\( 45° \)	\( \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707 \)
\( \frac{\pi}{3} \)	\( 60° \)	\( 0{,}5 \)
\( \frac{\pi}{2} \)	\( 90° \)	\( 0 \)
\( \pi \)	\( 180° \)	\( -1 \)
\( \frac{3\pi}{2} \)	\( 270° \)	\( 0 \)
\( 2\pi \)	\( 360° \)	\( 1 \)

Построение аналогично синусоиде: отмечаем точки, соединяем плавной кривой и продолжаем волну в обе стороны с периодом \( 2\pi \).

Сравнение свойств sin x и cos x

Обе функции тесно связаны между собой. Ниже собраны их основные характеристики для быстрого сопоставления:

Свойство	sin x	cos x
Область определения	\( \mathbb{R} \)	\( \mathbb{R} \)
Область значений	\( [-1;\, 1] \)	\( [-1;\, 1] \)
Период	\( 2\pi \)	\( 2\pi \)
Чётность	Нечётная: \( \sin(-x) = -\sin x \)	Чётная: \( \cos(-x) = \cos x \)
Значение при x = 0	\( 0 \)	\( 1 \)
Максимум	\( 1 \) при \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \)	\( 1 \) при \( x = 2\pi n \)
Минимум	\( -1 \) при \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \)	\( -1 \) при \( x = \pi + 2\pi n \)
Производная	\( \cos x \)	\( -\sin x \)
Первообразная	\( -\cos x + C \)	\( \sin x + C \)

Ключевое различие — сдвиг по фазе: косинусоида опережает синусоиду на \( \frac{\pi}{2} \). Все остальные числовые характеристики (период, амплитуда, область значений) совпадают.