Кол-во функций:

Онлайн калькулятор графиков функций

Построить график функции — это бесплатный интерактивный инструмент, который позволяет строить графики любых математических функций прямо в браузере, без установки программ. С его помощью вы можете визуализировать поведение функций, анализировать их свойства и наглядно видеть зависимость между переменными.

Калькулятор поддерживает построение графиков линейных, квадратных, кубических, показательных, логарифмических, тригонометрических, модульных и составных функций. Он подходит для школьников, студентов, преподавателей и всех, кто изучает или применяет математику.

Кому полезен калькулятор

Школьникам — для подготовки к контрольным, ЕГЭ, ДПА, олимпиадам и домашним заданиям.
Студентам — при изучении высшей математики, анализа функций и сложных выражений.
Преподавателям — для наглядной демонстрации графиков на занятиях.
Самоучкам и родителям — для понятного объяснения математических тем.

Примеры решаемых задач

Построение графика функции и нахождение её нулей
Определение промежутков знакопостоянства
Анализ симметрии и периодичности
Нахождение точек пересечения функций
Проверка решений уравнений и неравенств через график

Возможности калькулятора

Построение нескольких функций на одном графике
Поддержка модулей, корней, степеней, логарифмов и тригонометрии
Интерактивное управление: зум, прокрутка, изменение области просмотра
Подсветка нулей функции, пересечений с осями и экстремумов
Гибкий ввод формул: sin, cos, sqrt, abs, exp
Работа на ПК, планшетах и смартфонах без установки
Поддержка констант: PI (π ≈ 3.14159), E (e ≈ 2.71828)

Как пользоваться

Введите формулу функции (например: y = 2*x + 3)
Нажмите кнопку «Построить»
Анализируйте график и его свойства
При необходимости используйте кнопку «Очистить»

Типовые функции

Тип функции	Формула	Пример для ввода	Особенности
Алгебраические функции
Линейная	y = kx + b	`2 * x - 1`	Прямая линия
Парабола	y = ax² + bx + c	`x^2 - 3 * x + 2`	Квадратичная; ветви вверх/вниз
Кубическая	y = ax³ + …	`x^3 - x`	Точка перегиба; нечётная при a·x³
Гипербола	y = k / x	`1 / x`	Вертикальная асимптота x = 0
Степенная	y = xⁿ	`x^4`	Чётная/нечётная в зависимости от n
Обратная степенная	y = x⁻ⁿ	`x^(-2)`	Эквивалент 1 / x²; асимптота при x = 0
Квадратный корень	y = √x	`sqrt(x)`	Область определения x ≥ 0
Кубический корень	y = ∛x	`cbrt(x)`	Определена для всех x; нечётная
Модуль	y = \|x\|	`abs(x)`	Всегда y ≥ 0; излом в x = 0
Показательные и логарифмические
Показательная	y = a^x	`2^x`	Быстрый рост; всегда y > 0
Экспонента	y = e^x	`exp(x)`	Основание e ≈ 2.718
Натуральный логарифм	y = ln x	`log(x)`	В function-plot `log` = ln; x > 0
Десятичный логарифм	y = log₁₀ x	`log(x) / log(10)`	Через замену основания; x > 0
Логарифм по основанию 2	y = log₂ x	`log(x) / log(2)`	Через замену основания; x > 0
Тригонометрические (аргумент в радианах)
Синус	y = sin x	`sin(x)`	Период 2π; диапазон [−1, 1]
Косинус	y = cos x	`cos(x)`	Период 2π; диапазон [−1, 1]
Тангенс	y = tg x	`tan(x)`	Вертикальные асимптоты при π/2 + πn
Котангенс	y = ctg x	`1 / tan(x)`	Асимптоты при πn; `cot` не встроен
Секанс	y = sec x	`1 / cos(x)`	Асимптоты при π/2 + πn; `sec` не встроен
Косеканс	y = csc x	`1 / sin(x)`	Асимптоты при πn; `csc` не встроен
Обратные тригонометрические
Арксинус	y = arcsin x	`asin(x)`	x ∈ [−1, 1]; y ∈ [−π/2, π/2]
Арккосинус	y = arccos x	`acos(x)`	x ∈ [−1, 1]; y ∈ [0, π]
Арктангенс	y = arctg x	`atan(x)`	Горизонтальные асимптоты ±π/2
Арккотангенс	y = arcctg x	`PI / 2 - atan(x)`	Через тождество; y ∈ (0, π)
Арксеканс	y = arcsec x	`acos(1 / x)`	\|x\| ≥ 1; через acos
Арккосеканс	y = arccsc x	`asin(1 / x)`	\|x\| ≥ 1; через asin

Как построить график обратной степенной функции

График обратной степенной функции y = 1/x^n

Обратная степенная функция — это степенная функция с отрицательным показателем. Её график — гиперболоподобная кривая, которая никогда не пересекает оси координат: ось \( Y \) служит вертикальной асимптотой, а ось \( X \) — горизонтальной. Форма кривой существенно зависит от того, является показатель \( n \) чётным или нечётным. Ниже подробно разобраны все ключевые свойства функции \( y = \dfrac{1}{x^n} = x^{-n} \) при натуральном \( n \geq 1 \): переменные, область определения и значений, экстремумы, производная, первообразная, а также наглядные примеры с таблицами значений для обоих случаев — чётного и нечётного \( n \).

Что представляет собой график

График функции \( y = \dfrac{1}{x^n} \) — это кривая с двумя асимптотами:

Вертикальная асимптота — ось \( Y \) (\( x = 0 \)). При приближении \( x \) к нулю значения функции неограниченно возрастают по модулю.
Горизонтальная асимптота — ось \( X \) (\( y = 0 \)). При \( x \to \pm\infty \) значения функции стремятся к нулю, но никогда его не достигают.

Форма графика зависит от чётности показателя:

Нечётное \( n \) (1, 3, 5…) — кривая расположена в I и III координатных четвертях. График симметричен относительно начала координат (функция нечётная). Классический пример — гипербола \( y = \dfrac{1}{x} \).
Чётное \( n \) (2, 4, 6…) — кривая расположена целиком выше оси \( X \), в I и II четвертях. График симметричен относительно оси \( Y \) (функция чётная).

Чем больше \( n \), тем быстрее функция убывает при удалении от нуля и тем стремительнее возрастает вблизи нуля.

Обратные степенные зависимости описывают множество физических явлений: закон всемирного тяготения (\( \sim 1/r^2 \)), убывание освещённости с расстоянием, закон Кулона, распределение давления и другие процессы.

Значение каждой переменной

\( x \) — аргумент (независимая переменная) Входное значение, подставляемое в формулу. Принимает любое действительное число, кроме нуля — деление на ноль не определено. \( y \) — значение функции (зависимая переменная) Результат вычисления \( \dfrac{1}{x^n} \) при заданном \( x \). Определяет вертикальную координату точки на графике. \( n \) — показатель степени (натуральное число) Определяет скорость убывания функции и симметрию графика. При нечётном \( n \) функция нечётная, при чётном — чётная. Чем больше \( n \), тем быстрее кривая приближается к осям-асимптотам.

Область определения

Функция определена для всех действительных чисел, кроме нуля, поскольку знаменатель \( x^n \) обращается в ноль при \( x = 0 \):

\[ D(f) = (-\infty;\, 0) \cup (0;\, +\infty) = \mathbb{R} \setminus \{0\} \]

Область значений

Область значений зависит от чётности показателя:

Нечётное \( n \): функция принимает любые значения, кроме нуля: \( E(f) = (-\infty;\, 0) \cup (0;\, +\infty) \)
Чётное \( n \): функция принимает только положительные значения: \( E(f) = (0;\, +\infty) \)

В обоих случаях значение \( y = 0 \) недостижимо — горизонтальная асимптота.

Максимум и минимум

Обратная степенная функция не имеет ни глобального максимума, ни глобального минимума на всей области определения:

При приближении к нулю значения \( |y| \to +\infty \) — функция неограниченно возрастает по модулю.
При удалении от нуля значения \( y \to 0 \), но никогда не достигают нуля.

Локальных экстремумов также нет — на каждом из интервалов \( (-\infty;\, 0) \) и \( (0;\, +\infty) \) функция строго монотонна:

Нечётное \( n \): функция строго убывает на \( (-\infty;\, 0) \) и строго убывает на \( (0;\, +\infty) \).
Чётное \( n \): функция строго возрастает на \( (-\infty;\, 0) \) и строго убывает на \( (0;\, +\infty) \).

Производная

Производная вычисляется по стандартному правилу дифференцирования степенной функции:

\[ \left(\frac{1}{x^n}\right)’ = (x^{-n})’ = -n \cdot x^{-n-1} = -\frac{n}{x^{n+1}} \]

Примеры для конкретных значений \( n \):

\( \left(\dfrac{1}{x}\right)’ = -\dfrac{1}{x^2} \)
\( \left(\dfrac{1}{x^2}\right)’ = -\dfrac{2}{x^3} \)
\( \left(\dfrac{1}{x^3}\right)’ = -\dfrac{3}{x^4} \)

Знак производной подтверждает монотонность: при нечётном \( n \) производная всегда отрицательна (функция убывает на каждом интервале), при чётном \( n \) знак зависит от знака \( x \).

Первообразная (неопределённый интеграл)

Общая формула при \( n \neq 1 \):

\[ \int \frac{dx}{x^n} = \int x^{-n}\, dx = \frac{x^{-n+1}}{-n+1} + C = -\frac{1}{(n-1)\, x^{n-1}} + C \]

Особый случай при \( n = 1 \):

\[ \int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C \]

Здесь \( C \) — произвольная постоянная интегрирования.

Пример 1 (нечётный показатель): y = 1/x

Классическая гипербола — простейший случай обратной степенной функции при \( n = 1 \). Кривая состоит из двух ветвей в I и III четвертях, симметричных относительно начала координат.

Таблица значений

x	Подстановка	y
\( -4 \)	\( \frac{1}{-4} \)	\( -0{,}25 \)
\( -2 \)	\( \frac{1}{-2} \)	\( -0{,}5 \)
\( -1 \)	\( \frac{1}{-1} \)	\( -1 \)
\( -0{,}5 \)	\( \frac{1}{-0{,}5} \)	\( -2 \)
\( 0 \)	—	не определено
\( 0{,}5 \)	\( \frac{1}{0{,}5} \)	\( 2 \)
\( 1 \)	\( \frac{1}{1} \)	\( 1 \)
\( 2 \)	\( \frac{1}{2} \)	\( 0{,}5 \)
\( 4 \)	\( \frac{1}{4} \)	\( 0{,}25 \)

Ключевые характеристики

Область определения: \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \).
Область значений: \( (-\infty;\, 0) \cup (0;\, +\infty) \).
Чётность: нечётная функция — \( f(-x) = -f(x) \).
Асимптоты: вертикальная \( x = 0 \), горизонтальная \( y = 0 \).
Монотонность: убывает на \( (-\infty;\, 0) \) и на \( (0;\, +\infty) \).
Производная: \( y’ = -\dfrac{1}{x^2} < 0 \) всюду.
Первообразная: \( \ln|x| + C \).

Пример 2 (чётный показатель): y = 1/x²

При \( n = 2 \) обе ветви кривой расположены выше оси \( X \) — в I и II четвертях. График симметричен относительно оси \( Y \), поскольку \( (-x)^2 = x^2 \).

Таблица значений

x	Подстановка	y
\( -4 \)	\( \frac{1}{(-4)^2} = \frac{1}{16} \)	\( 0{,}0625 \)
\( -2 \)	\( \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4} \)	\( 0{,}25 \)
\( -1 \)	\( \frac{1}{(-1)^2} = \frac{1}{1} \)	\( 1 \)
\( -0{,}5 \)	\( \frac{1}{(-0{,}5)^2} = \frac{1}{0{,}25} \)	\( 4 \)
\( 0 \)	—	не определено
\( 0{,}5 \)	\( \frac{1}{(0{,}5)^2} = \frac{1}{0{,}25} \)	\( 4 \)
\( 1 \)	\( \frac{1}{1^2} = \frac{1}{1} \)	\( 1 \)
\( 2 \)	\( \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} \)	\( 0{,}25 \)
\( 4 \)	\( \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} \)	\( 0{,}0625 \)

Ключевые характеристики

Область определения: \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \).
Область значений: \( (0;\, +\infty) \).
Чётность: чётная функция — \( f(-x) = f(x) \). График симметричен относительно оси \( Y \).
Асимптоты: вертикальная \( x = 0 \), горизонтальная \( y = 0 \).
Монотонность: возрастает на \( (-\infty;\, 0) \), убывает на \( (0;\, +\infty) \).
Производная: \( y’ = -\dfrac{2}{x^3} \). При \( x > 0 \) производная отрицательна (убывание), при \( x < 0 \) — положительна (возрастание).
Первообразная: \( -\dfrac{1}{x} + C \).

Сравнение свойств при чётном и нечётном показателе

Для быстрого сопоставления двух основных случаев:

Свойство	Нечётное n (1, 3, 5…)	Чётное n (2, 4, 6…)
Область определения	\( \mathbb{R} \setminus \{0\} \)	\( \mathbb{R} \setminus \{0\} \)
Область значений	\( (-\infty;\, 0) \cup (0;\, +\infty) \)	\( (0;\, +\infty) \)
Чётность	Нечётная: \( f(-x) = -f(x) \)	Чётная: \( f(-x) = f(x) \)
Симметрия	Относительно начала координат	Относительно оси \( Y \)
Расположение ветвей	I и III четверти	I и II четверти
Знак функции	Совпадает со знаком \( x \)	Всегда положительный
Монотонность при \( x > 0 \)	Убывает	Убывает
Монотонность при \( x < 0 \)	Убывает	Возрастает
Производная	\( -\dfrac{n}{x^{n+1}} \)	\( -\dfrac{n}{x^{n+1}} \)
Первообразная (при n > 1)	\( -\dfrac{1}{(n-1)\,x^{n-1}} + C \)	\( -\dfrac{1}{(n-1)\,x^{n-1}} + C \)
Первообразная (при n = 1)	\( \ln\|x\| + C \)	—

Обратите внимание: формулы производной и первообразной одинаковы для обоих случаев — различия проявляются только в геометрии графика и знаке функции при отрицательных \( x \).