Кол-во функций:

Онлайн калькулятор графиков функций

Построить график функции — это бесплатный интерактивный инструмент, который позволяет строить графики любых математических функций прямо в браузере, без установки программ. С его помощью вы можете визуализировать поведение функций, анализировать их свойства и наглядно видеть зависимость между переменными.

Калькулятор поддерживает построение графиков линейных, квадратных, кубических, показательных, логарифмических, тригонометрических, модульных и составных функций. Он подходит для школьников, студентов, преподавателей и всех, кто изучает или применяет математику.

Кому полезен калькулятор

Школьникам — для подготовки к контрольным, ЕГЭ, ДПА, олимпиадам и домашним заданиям.
Студентам — при изучении высшей математики, анализа функций и сложных выражений.
Преподавателям — для наглядной демонстрации графиков на занятиях.
Самоучкам и родителям — для понятного объяснения математических тем.

Примеры решаемых задач

Построение графика функции и нахождение её нулей
Определение промежутков знакопостоянства
Анализ симметрии и периодичности
Нахождение точек пересечения функций
Проверка решений уравнений и неравенств через график

Возможности калькулятора

Построение нескольких функций на одном графике
Поддержка модулей, корней, степеней, логарифмов и тригонометрии
Интерактивное управление: зум, прокрутка, изменение области просмотра
Подсветка нулей функции, пересечений с осями и экстремумов
Гибкий ввод формул: sin, cos, sqrt, abs, exp
Работа на ПК, планшетах и смартфонах без установки
Поддержка констант: PI (π ≈ 3.14159), E (e ≈ 2.71828)

Как пользоваться

Введите формулу функции (например: y = 2*x + 3)
Нажмите кнопку «Построить»
Анализируйте график и его свойства
При необходимости используйте кнопку «Очистить»

Типовые функции

Тип функции	Формула	Пример для ввода	Особенности
Алгебраические функции
Линейная	y = kx + b	`2 * x - 1`	Прямая линия
Парабола	y = ax² + bx + c	`x^2 - 3 * x + 2`	Квадратичная; ветви вверх/вниз
Кубическая	y = ax³ + …	`x^3 - x`	Точка перегиба; нечётная при a·x³
Гипербола	y = k / x	`1 / x`	Вертикальная асимптота x = 0
Степенная	y = xⁿ	`x^4`	Чётная/нечётная в зависимости от n
Обратная степенная	y = x⁻ⁿ	`x^(-2)`	Эквивалент 1 / x²; асимптота при x = 0
Квадратный корень	y = √x	`sqrt(x)`	Область определения x ≥ 0
Кубический корень	y = ∛x	`cbrt(x)`	Определена для всех x; нечётная
Модуль	y = \|x\|	`abs(x)`	Всегда y ≥ 0; излом в x = 0
Показательные и логарифмические
Показательная	y = a^x	`2^x`	Быстрый рост; всегда y > 0
Экспонента	y = e^x	`exp(x)`	Основание e ≈ 2.718
Натуральный логарифм	y = ln x	`log(x)`	В function-plot `log` = ln; x > 0
Десятичный логарифм	y = log₁₀ x	`log(x) / log(10)`	Через замену основания; x > 0
Логарифм по основанию 2	y = log₂ x	`log(x) / log(2)`	Через замену основания; x > 0
Тригонометрические (аргумент в радианах)
Синус	y = sin x	`sin(x)`	Период 2π; диапазон [−1, 1]
Косинус	y = cos x	`cos(x)`	Период 2π; диапазон [−1, 1]
Тангенс	y = tg x	`tan(x)`	Вертикальные асимптоты при π/2 + πn
Котангенс	y = ctg x	`1 / tan(x)`	Асимптоты при πn; `cot` не встроен
Секанс	y = sec x	`1 / cos(x)`	Асимптоты при π/2 + πn; `sec` не встроен
Косеканс	y = csc x	`1 / sin(x)`	Асимптоты при πn; `csc` не встроен
Обратные тригонометрические
Арксинус	y = arcsin x	`asin(x)`	x ∈ [−1, 1]; y ∈ [−π/2, π/2]
Арккосинус	y = arccos x	`acos(x)`	x ∈ [−1, 1]; y ∈ [0, π]
Арктангенс	y = arctg x	`atan(x)`	Горизонтальные асимптоты ±π/2
Арккотангенс	y = arcctg x	`PI / 2 - atan(x)`	Через тождество; y ∈ (0, π)
Арксеканс	y = arcsec x	`acos(1 / x)`	\|x\| ≥ 1; через acos
Арккосеканс	y = arccsc x	`asin(1 / x)`	\|x\| ≥ 1; через asin

Как построить график параболы

График квадратичной функции y = ax² + bx + c (парабола)

Квадратичная функция — одна из важнейших функций школьной и вузовской математики. Её график — парабола — симметричная кривая с единственной вершиной, направленная вверх или вниз в зависимости от знака старшего коэффициента. Ниже подробно разобраны все ключевые свойства функции \( y = ax^2 + bx + c \): переменные, область определения и значений, экстремумы, производная, первообразная, а также наглядный пример с таблицей значений и пошаговым построением.

Что представляет собой график

График функции \( y = ax^2 + bx + c \) — это парабола. Кривая имеет ось симметрии, проходящую через вершину, и неограниченно продолжается вверх или вниз:

При \( a > 0 \) ветви параболы направлены вверх (кривая имеет форму «чаши»). Вершина является точкой минимума.
При \( a < 0 \) ветви направлены вниз (кривая имеет форму «горки»). Вершина является точкой максимума.

Координаты вершины параболы вычисляются по формулам:

\[ x_0 = -\frac{b}{2a}, \qquad y_0 = -\frac{b^2 – 4ac}{4a} = -\frac{D}{4a} \]

где \( D = b^2 – 4ac \) — дискриминант. Ось симметрии параболы — вертикальная прямая \( x = x_0 \).

Парабола описывает множество реальных процессов: траекторию тела, брошенного под углом к горизонту, форму зеркала телескопа, зависимость тормозного пути от скорости, распределение прибыли от объёма производства и многое другое.

Значение каждой переменной

\( x \) — аргумент (независимая переменная) Входное значение, подставляемое в формулу. Принимает любое действительное число. \( y \) — значение функции (зависимая переменная) Результат вычисления при заданном \( x \). Определяет вертикальную координату соответствующей точки на графике. \( a \) — старший коэффициент Определяет направление и ширину параболы. При \( a > 0 \) ветви смотрят вверх, при \( a < 0 \) — вниз. Чем больше \( |a| \), тем уже парабола; чем меньше \( |a| \), тем шире она раскрывается. Значение \( a = 0 \) недопустимо — функция перестаёт быть квадратичной. \( b \) — коэффициент при первой степени Влияет на горизонтальное смещение вершины параболы. Совместно с \( a \) определяет абсциссу вершины: \( x_0 = -\frac{b}{2a} \). При \( b = 0 \) ось симметрии параболы совпадает с осью ординат. \( c \) — свободный член Значение функции при \( x = 0 \), то есть точка пересечения параболы с осью Y: точка \( (0;\, c) \). Геометрически это вертикальный сдвиг всей кривой.

Область определения

Квадратичная функция определена для всех действительных чисел — в формуле нет операций, ограничивающих допустимые значения аргумента:

\[ D(f) = (-\infty;\, +\infty) = \mathbb{R} \]

Область значений

Область значений зависит от направления ветвей параболы и ординаты вершины \( y_0 \):

При \( a > 0 \) (ветви вверх) функция принимает значения от вершины до бесконечности: \( E(f) = [\,y_0;\, +\infty) \)
При \( a < 0 \) (ветви вниз) функция принимает значения от минус бесконечности до вершины: \( E(f) = (-\infty;\, y_0\,] \)

где \( y_0 = -\dfrac{D}{4a} \) — ордината вершины параболы.

Максимум и минимум

Квадратичная функция имеет ровно один экстремум — в вершине параболы:

При \( a > 0 \): вершина является точкой минимума. Максимума не существует — функция неограниченно возрастает при \( x \to \pm\infty \). \[ y_{\min} = y_0 = -\frac{D}{4a}, \qquad y_{\max} \text{ не существует} \]
При \( a < 0 \): вершина является точкой максимума. Минимума не существует — функция неограниченно убывает при \( x \to \pm\infty \). \[ y_{\max} = y_0 = -\frac{D}{4a}, \qquad y_{\min} \text{ не существует} \]

Координата \( x \), при которой достигается экстремум:

\[ x_0 = -\frac{b}{2a} \]

Производная

Производная квадратичной функции — линейная функция:

\[ (ax^2 + bx + c)’ = 2ax + b \]

Производная обращается в ноль при \( x = -\frac{b}{2a} \) — именно в этой точке находится вершина параболы. Знак производной определяет поведение функции:

При \( a > 0 \): функция убывает на \( \left(-\infty;\, -\frac{b}{2a}\right) \) и возрастает на \( \left(-\frac{b}{2a};\, +\infty\right) \).
При \( a < 0 \): функция возрастает на \( \left(-\infty;\, -\frac{b}{2a}\right) \) и убывает на \( \left(-\frac{b}{2a};\, +\infty\right) \).

Первообразная (неопределённый интеграл)

Первообразная квадратичной функции — кубическая функция:

\[ \int (ax^2 + bx + c)\, dx = \frac{a}{3}\,x^3 + \frac{b}{2}\,x^2 + cx + C \]

Здесь \( C \) — произвольная постоянная интегрирования.

Пример: y = x² – 4x + 3

Рассмотрим квадратичную функцию с коэффициентами \( a = 1 \), \( b = -4 \), \( c = 3 \).

Шаг 1. Вершина параболы

\[ x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \]

\[ y_0 = (2)^2 – 4 \cdot 2 + 3 = 4 – 8 + 3 = -1 \]

Вершина: \( (2;\, -1) \). Поскольку \( a = 1 > 0 \), ветви направлены вверх, и вершина является точкой минимума.

Шаг 2. Нули функции (пересечение с осью X)

Решаем уравнение \( x^2 – 4x + 3 = 0 \):

\[ D = (-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 – 12 = 4 \]

\[ x_1 = \frac{4 – 2}{2} = 1, \qquad x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \]

Парабола пересекает ось \( X \) в точках \( (1;\, 0) \) и \( (3;\, 0) \).

Шаг 3. Пересечение с осью Y

При \( x = 0 \): \( y = 0 – 0 + 3 = 3 \). Точка \( (0;\, 3) \).

Шаг 4. Таблица значений

x	Подстановка	y
\( -1 \)	\( (-1)^2 – 4(-1) + 3 \)	\( 8 \)
\( 0 \)	\( 0 – 0 + 3 \)	\( 3 \)
\( 1 \)	\( 1 – 4 + 3 \)	\( 0 \)
\( 2 \)	\( 4 – 8 + 3 \)	\( -1 \)
\( 3 \)	\( 9 – 12 + 3 \)	\( 0 \)
\( 4 \)	\( 16 – 16 + 3 \)	\( 3 \)
\( 5 \)	\( 25 – 20 + 3 \)	\( 8 \)

Ключевые характеристики примера

Вершина (минимум): \( (2;\, -1) \).
Ось симметрии: \( x = 2 \).
Нули функции: \( x = 1 \) и \( x = 3 \).
Пересечение с осью Y: \( (0;\, 3) \).
Направление ветвей: вверх (\( a = 1 > 0 \)).
Производная: \( y’ = 2x – 4 \). Обращается в ноль при \( x = 2 \).
Первообразная: \( \frac{x^3}{3} – 2x^2 + 3x + C \).

Обратите внимание на симметрию таблицы относительно вершины: значения \( y \) при \( x = 1 \) и \( x = 3 \) совпадают (\( y = 0 \)), при \( x = 0 \) и \( x = 4 \) совпадают (\( y = 3 \)), при \( x = -1 \) и \( x = 5 \) совпадают (\( y = 8 \)). Это прямое следствие того, что ось симметрии проходит через \( x = 2 \). Для построения параболы достаточно вычислить точки по одну сторону от вершины и отразить их зеркально.