Кол-во функций:

Онлайн калькулятор графиков функций

Построить график функции — это бесплатный интерактивный инструмент, который позволяет строить графики любых математических функций прямо в браузере, без установки программ. С его помощью вы можете визуализировать поведение функций, анализировать их свойства и наглядно видеть зависимость между переменными.

Калькулятор поддерживает построение графиков линейных, квадратных, кубических, показательных, логарифмических, тригонометрических, модульных и составных функций. Он подходит для школьников, студентов, преподавателей и всех, кто изучает или применяет математику.

Кому полезен калькулятор

Школьникам — для подготовки к контрольным, ЕГЭ, ДПА, олимпиадам и домашним заданиям.
Студентам — при изучении высшей математики, анализа функций и сложных выражений.
Преподавателям — для наглядной демонстрации графиков на занятиях.
Самоучкам и родителям — для понятного объяснения математических тем.

Примеры решаемых задач

Построение графика функции и нахождение её нулей
Определение промежутков знакопостоянства
Анализ симметрии и периодичности
Нахождение точек пересечения функций
Проверка решений уравнений и неравенств через график

Возможности калькулятора

Построение нескольких функций на одном графике
Поддержка модулей, корней, степеней, логарифмов и тригонометрии
Интерактивное управление: зум, прокрутка, изменение области просмотра
Подсветка нулей функции, пересечений с осями и экстремумов
Гибкий ввод формул: sin, cos, sqrt, abs, exp
Работа на ПК, планшетах и смартфонах без установки
Поддержка констант: PI (π ≈ 3.14159), E (e ≈ 2.71828)

Как пользоваться

Введите формулу функции (например: y = 2*x + 3)
Нажмите кнопку «Построить»
Анализируйте график и его свойства
При необходимости используйте кнопку «Очистить»

Типовые функции

Тип функции	Формула	Пример для ввода	Особенности
Алгебраические функции
Линейная	y = kx + b	`2 * x - 1`	Прямая линия
Парабола	y = ax² + bx + c	`x^2 - 3 * x + 2`	Квадратичная; ветви вверх/вниз
Кубическая	y = ax³ + …	`x^3 - x`	Точка перегиба; нечётная при a·x³
Гипербола	y = k / x	`1 / x`	Вертикальная асимптота x = 0
Степенная	y = xⁿ	`x^4`	Чётная/нечётная в зависимости от n
Обратная степенная	y = x⁻ⁿ	`x^(-2)`	Эквивалент 1 / x²; асимптота при x = 0
Квадратный корень	y = √x	`sqrt(x)`	Область определения x ≥ 0
Кубический корень	y = ∛x	`cbrt(x)`	Определена для всех x; нечётная
Модуль	y = \|x\|	`abs(x)`	Всегда y ≥ 0; излом в x = 0
Показательные и логарифмические
Показательная	y = a^x	`2^x`	Быстрый рост; всегда y > 0
Экспонента	y = e^x	`exp(x)`	Основание e ≈ 2.718
Натуральный логарифм	y = ln x	`log(x)`	В function-plot `log` = ln; x > 0
Десятичный логарифм	y = log₁₀ x	`log(x) / log(10)`	Через замену основания; x > 0
Логарифм по основанию 2	y = log₂ x	`log(x) / log(2)`	Через замену основания; x > 0
Тригонометрические (аргумент в радианах)
Синус	y = sin x	`sin(x)`	Период 2π; диапазон [−1, 1]
Косинус	y = cos x	`cos(x)`	Период 2π; диапазон [−1, 1]
Тангенс	y = tg x	`tan(x)`	Вертикальные асимптоты при π/2 + πn
Котангенс	y = ctg x	`1 / tan(x)`	Асимптоты при πn; `cot` не встроен
Секанс	y = sec x	`1 / cos(x)`	Асимптоты при π/2 + πn; `sec` не встроен
Косеканс	y = csc x	`1 / sin(x)`	Асимптоты при πn; `csc` не встроен
Обратные тригонометрические
Арксинус	y = arcsin x	`asin(x)`	x ∈ [−1, 1]; y ∈ [−π/2, π/2]
Арккосинус	y = arccos x	`acos(x)`	x ∈ [−1, 1]; y ∈ [0, π]
Арктангенс	y = arctg x	`atan(x)`	Горизонтальные асимптоты ±π/2
Арккотангенс	y = arcctg x	`PI / 2 - atan(x)`	Через тождество; y ∈ (0, π)
Арксеканс	y = arcsec x	`acos(1 / x)`	\|x\| ≥ 1; через acos
Арккосеканс	y = arccsc x	`asin(1 / x)`	\|x\| ≥ 1; через asin

Как построить график кубической функции

График кубической функции y = ax³ + bx² + cx + d

Кубическая функция — многочлен третьей степени, график которого представляет собой плавную S-образную кривую (или её зеркальное отражение). В отличие от параболы, кубическая кривая всегда имеет точку перегиба и может пересекать ось абсцисс в одной или трёх точках. Ниже подробно разобраны все ключевые свойства функции \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \): переменные, область определения и значений, экстремумы, производная, первообразная, а также наглядный пример с таблицей значений.

Что представляет собой график

График функции \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \) — это гладкая кривая третьего порядка, называемая кубической параболой (в общем случае — кубикой). Её характерные особенности:

Кривая всегда имеет ровно одну точку перегиба — точку, в которой меняется направление выпуклости графика.
При \( a > 0 \) левая ветвь уходит в \( -\infty \), правая — в \( +\infty \). При \( a < 0 \) — наоборот.
В зависимости от коэффициентов кривая может иметь два локальных экстремума (локальный максимум и локальный минимум) или ни одного — тогда функция монотонна на всей числовой прямой.
Кубическая функция всегда имеет хотя бы один действительный корень (пересечение с осью \( X \)), а максимальное число корней — три.

Кубические зависимости встречаются в физике (связь энергии деформации с прогибом), экономике (функции издержек), инженерии (кубические сплайны для аппроксимации кривых) и многих других областях.

Значение каждой переменной

\( x \) — аргумент (независимая переменная) Входное значение, подставляемое в формулу. Принимает любое действительное число. \( y \) — значение функции (зависимая переменная) Результат вычисления при заданном \( x \). Определяет вертикальную координату точки на графике. \( a \) — старший коэффициент Определяет направление ветвей и общий масштаб кривой. При \( a > 0 \) правая ветвь уходит вверх, при \( a < 0 \) — вниз. Чем больше \( |a| \), тем круче кривая растёт вдали от начала координат. Значение \( a = 0 \) недопустимо — функция перестаёт быть кубической. \( b \) — коэффициент при второй степени Влияет на положение точки перегиба и асимметрию кривой. Абсцисса точки перегиба: \( x_p = -\dfrac{b}{3a} \). \( c \) — коэффициент при первой степени Совместно с \( a \) и \( b \) определяет наличие и положение локальных экстремумов. Влияет на наклон кривой в окрестности точки перегиба. \( d \) — свободный член Значение функции при \( x = 0 \), то есть точка пересечения графика с осью Y: точка \( (0;\, d) \). Геометрически это вертикальный сдвиг всей кривой.

Область определения

Кубическая функция — многочлен, поэтому определена для всех действительных чисел без каких-либо ограничений:

\[ D(f) = (-\infty;\, +\infty) = \mathbb{R} \]

Область значений

Поскольку при \( x \to +\infty \) и \( x \to -\infty \) кубическая функция принимает сколь угодно большие и сколь угодно малые значения, её область значений — вся числовая прямая:

\[ E(f) = (-\infty;\, +\infty) = \mathbb{R} \]

Это справедливо при любых значениях коэффициентов (при \( a \neq 0 \)).

Максимум и минимум

Кубическая функция не имеет глобального максимума и минимума — её ветви уходят в бесконечность в противоположных направлениях. Однако она может иметь локальные экстремумы.

Для нахождения экстремумов приравниваем производную к нулю:

\[ y’ = 3ax^2 + 2bx + c = 0 \]

Это квадратное уравнение с дискриминантом:

\[ D_1 = (2b)^2 – 4 \cdot 3a \cdot c = 4b^2 – 12ac \]

\( D_1 > 0 \): два различных корня — функция имеет локальный максимум и локальный минимум. Между ними кривая образует характерную «волну».
\( D_1 = 0 \): один корень кратности два — экстремума нет, но в этой точке производная касается нуля. Кривая имеет горизонтальную точку перегиба.
\( D_1 < 0 \): действительных корней нет — функция строго монотонна на всей числовой прямой. Экстремумов нет.

Производная

Производная кубической функции — квадратичная функция (парабола):

\[ (ax^3 + bx^2 + cx + d)’ = 3ax^2 + 2bx + c \]

Вторая производная — линейная функция:

\[ y” = 6ax + 2b \]

Вторая производная обращается в ноль при \( x_p = -\dfrac{b}{3a} \) — это абсцисса точки перегиба, в которой кривая меняет направление выпуклости.

Первообразная (неопределённый интеграл)

Первообразная кубической функции — многочлен четвёртой степени:

\[ \int (ax^3 + bx^2 + cx + d)\, dx = \frac{a}{4}\,x^4 + \frac{b}{3}\,x^3 + \frac{c}{2}\,x^2 + dx + C \]

Здесь \( C \) — произвольная постоянная интегрирования.

Пример: y = x³ – 3x + 2

Рассмотрим кубическую функцию с коэффициентами \( a = 1 \), \( b = 0 \), \( c = -3 \), \( d = 2 \).

Шаг 1. Точка перегиба

\[ x_p = -\frac{b}{3a} = -\frac{0}{3} = 0 \]

\[ y_p = 0^3 – 3 \cdot 0 + 2 = 2 \]

Точка перегиба: \( (0;\, 2) \).

Шаг 2. Локальные экстремумы

Находим производную и приравниваем к нулю:

\[ y’ = 3x^2 – 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1 \]

При \( x = -1 \): \( y = (-1)^3 – 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4 \). Вторая производная: \( y” = 6 \cdot (-1) = -6 < 0 \) — локальный максимум в точке \( (-1;\, 4) \).
При \( x = 1 \): \( y = 1 – 3 + 2 = 0 \). Вторая производная: \( y” = 6 \cdot 1 = 6 > 0 \) — локальный минимум в точке \( (1;\, 0) \).

Шаг 3. Нули функции (пересечение с осью X)

Решаем уравнение \( x^3 – 3x + 2 = 0 \). Заметим, что \( x = 1 \) является корнем. Разделив многочлен на \( (x – 1) \):

\[ x^3 – 3x + 2 = (x – 1)(x^2 + x – 2) = (x – 1)(x – 1)(x + 2) = (x – 1)^2(x + 2) \]

Корни: \( x = 1 \) (кратность 2 — график касается оси \( X \)) и \( x = -2 \) (простой корень — график пересекает ось \( X \)).

Шаг 4. Пересечение с осью Y

При \( x = 0 \): \( y = 0 – 0 + 2 = 2 \). Точка \( (0;\, 2) \).

Шаг 5. Таблица значений

x	Подстановка	y
\( -3 \)	\( (-3)^3 – 3(-3) + 2 \)	\( -16 \)
\( -2 \)	\( (-2)^3 – 3(-2) + 2 \)	\( 0 \)
\( -1 \)	\( (-1)^3 – 3(-1) + 2 \)	\( 4 \)
\( 0 \)	\( 0 – 0 + 2 \)	\( 2 \)
\( 1 \)	\( 1 – 3 + 2 \)	\( 0 \)
\( 2 \)	\( 8 – 6 + 2 \)	\( 4 \)
\( 3 \)	\( 27 – 9 + 2 \)	\( 20 \)

Ключевые характеристики примера

Область определения: \( \mathbb{R} \).
Область значений: \( \mathbb{R} \).
Локальный максимум: \( (-1;\, 4) \).
Локальный минимум: \( (1;\, 0) \).
Точка перегиба: \( (0;\, 2) \).
Нули функции: \( x = -2 \) и \( x = 1 \) (кратный).
Пересечение с осью Y: \( (0;\, 2) \).
Производная: \( y’ = 3x^2 – 3 \).
Первообразная: \( \dfrac{x^4}{4} – \dfrac{3x^2}{2} + 2x + C \).

Для построения графика нанесите точки из таблицы на координатную плоскость, отметьте вершины экстремумов и точку перегиба, затем соедините всё плавной кривой. Левая ветвь уходит вниз (\( a = 1 > 0 \), при \( x \to -\infty \) значение \( y \to -\infty \)), правая — вверх (\( y \to +\infty \)). Между экстремумами кривая образует характерную «волну», а в точке перегиба меняет направление выпуклости.