Кол-во функций:

Онлайн калькулятор графиков функций

Построить график функции — это бесплатный интерактивный инструмент, который позволяет строить графики любых математических функций прямо в браузере, без установки программ. С его помощью вы можете визуализировать поведение функций, анализировать их свойства и наглядно видеть зависимость между переменными.

Калькулятор поддерживает построение графиков линейных, квадратных, кубических, показательных, логарифмических, тригонометрических, модульных и составных функций. Он подходит для школьников, студентов, преподавателей и всех, кто изучает или применяет математику.

Кому полезен калькулятор

Школьникам — для подготовки к контрольным, ЕГЭ, ДПА, олимпиадам и домашним заданиям.
Студентам — при изучении высшей математики, анализа функций и сложных выражений.
Преподавателям — для наглядной демонстрации графиков на занятиях.
Самоучкам и родителям — для понятного объяснения математических тем.

Примеры решаемых задач

Построение графика функции и нахождение её нулей
Определение промежутков знакопостоянства
Анализ симметрии и периодичности
Нахождение точек пересечения функций
Проверка решений уравнений и неравенств через график

Возможности калькулятора

Построение нескольких функций на одном графике
Поддержка модулей, корней, степеней, логарифмов и тригонометрии
Интерактивное управление: зум, прокрутка, изменение области просмотра
Подсветка нулей функции, пересечений с осями и экстремумов
Гибкий ввод формул: sin, cos, sqrt, abs, exp
Работа на ПК, планшетах и смартфонах без установки
Поддержка констант: PI (π ≈ 3.14159), E (e ≈ 2.71828)

Как пользоваться

Введите формулу функции (например: y = 2*x + 3)
Нажмите кнопку «Построить»
Анализируйте график и его свойства
При необходимости используйте кнопку «Очистить»

Типовые функции

Тип функции	Формула	Пример для ввода	Особенности
Алгебраические функции
Линейная	y = kx + b	`2 * x - 1`	Прямая линия
Парабола	y = ax² + bx + c	`x^2 - 3 * x + 2`	Квадратичная; ветви вверх/вниз
Кубическая	y = ax³ + …	`x^3 - x`	Точка перегиба; нечётная при a·x³
Гипербола	y = k / x	`1 / x`	Вертикальная асимптота x = 0
Степенная	y = xⁿ	`x^4`	Чётная/нечётная в зависимости от n
Обратная степенная	y = x⁻ⁿ	`x^(-2)`	Эквивалент 1 / x²; асимптота при x = 0
Квадратный корень	y = √x	`sqrt(x)`	Область определения x ≥ 0
Кубический корень	y = ∛x	`cbrt(x)`	Определена для всех x; нечётная
Модуль	y = \|x\|	`abs(x)`	Всегда y ≥ 0; излом в x = 0
Показательные и логарифмические
Показательная	y = a^x	`2^x`	Быстрый рост; всегда y > 0
Экспонента	y = e^x	`exp(x)`	Основание e ≈ 2.718
Натуральный логарифм	y = ln x	`log(x)`	В function-plot `log` = ln; x > 0
Десятичный логарифм	y = log₁₀ x	`log(x) / log(10)`	Через замену основания; x > 0
Логарифм по основанию 2	y = log₂ x	`log(x) / log(2)`	Через замену основания; x > 0
Тригонометрические (аргумент в радианах)
Синус	y = sin x	`sin(x)`	Период 2π; диапазон [−1, 1]
Косинус	y = cos x	`cos(x)`	Период 2π; диапазон [−1, 1]
Тангенс	y = tg x	`tan(x)`	Вертикальные асимптоты при π/2 + πn
Котангенс	y = ctg x	`1 / tan(x)`	Асимптоты при πn; `cot` не встроен
Секанс	y = sec x	`1 / cos(x)`	Асимптоты при π/2 + πn; `sec` не встроен
Косеканс	y = csc x	`1 / sin(x)`	Асимптоты при πn; `csc` не встроен
Обратные тригонометрические
Арксинус	y = arcsin x	`asin(x)`	x ∈ [−1, 1]; y ∈ [−π/2, π/2]
Арккосинус	y = arccos x	`acos(x)`	x ∈ [−1, 1]; y ∈ [0, π]
Арктангенс	y = arctg x	`atan(x)`	Горизонтальные асимптоты ±π/2
Арккотангенс	y = arcctg x	`PI / 2 - atan(x)`	Через тождество; y ∈ (0, π)
Арксеканс	y = arcsec x	`acos(1 / x)`	\|x\| ≥ 1; через acos
Арккосеканс	y = arccsc x	`asin(1 / x)`	\|x\| ≥ 1; через asin

Как построить график функции с модулем

Построение графика функции с модулем: y = |x|

Функция с модулем — одна из базовых элементарных функций, которая каждому действительному числу ставит в соответствие его абсолютное значение. Общая формула записывается как:

$$y = |x|$$

Геометрически график функции y = |x| представляет собой два луча, выходящих из начала координат: один направлен вправо-вверх (при x ≥ 0), другой — влево-вверх (при x < 0). Вместе они образуют характерную V-образную фигуру, симметричную относительно оси ординат (оси Y).

Аналитически модуль раскрывается как кусочная функция:

$$y = |x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$$

Более общая форма функции с модулем, включающая линейное преобразование аргумента и сдвиг, записывается так:

$$y = a \cdot |x – h| + k$$

где параметры a, h и k управляют растяжением, горизонтальным и вертикальным сдвигами графика соответственно. Эта формула позволяет описать любое линейное преобразование базовой V-образной кривой.

Значение каждой переменной в формуле y = a·|x − h| + k

Переменная	Описание	Влияние на график
x	Независимая переменная (аргумент функции)	Определяет положение точки по горизонтальной оси
y	Зависимая переменная (значение функции)	Определяет положение точки по вертикальной оси
a	Коэффициент растяжения / сжатия и отражения	При \|a\| > 1 график сужается (растягивается по вертикали), при 0 < \|a\| < 1 — расширяется (сжимается по вертикали). При a < 0 график отражается вниз (V превращается в перевёрнутую V)
h	Горизонтальный сдвиг (смещение вершины по оси X)	При h > 0 вершина сдвигается вправо, при h < 0 — влево
k	Вертикальный сдвиг (смещение вершины по оси Y)	При k > 0 вершина сдвигается вверх, при k < 0 — вниз

Область определения функции с модулем

Функция y = |x| определена для всех действительных чисел, поскольку абсолютное значение можно вычислить для любого числа. Область определения:

$$D(y) = (-\infty ;\; +\infty) = \mathbb{R}$$

Это означает, что в качестве аргумента можно подставить любое вещественное число — функция всегда вернёт корректный результат.

Для общей формы y = a·|x − h| + k область определения также остаётся неизменной:

$$D(y) = \mathbb{R} \quad \text{при любых } a \neq 0,\; h,\; k \in \mathbb{R}$$

Область значений функции с модулем

Поскольку модуль числа всегда неотрицателен, значения базовой функции y = |x| начинаются от нуля и уходят в плюс бесконечность:

$$E(y) = [0 ;\; +\infty)$$

Для общей формы y = a·|x − h| + k область значений зависит от знака коэффициента a:

Если a > 0 (ветви направлены вверх): $$E(y) = [k ;\; +\infty)$$
Если a < 0 (ветви направлены вниз): $$E(y) = (-\infty ;\; k]$$

Максимум и минимум функции с модулем

Базовая функция y = |x|

Функция y = |x| имеет единственный глобальный минимум в точке x = 0:

$$y_{\min} = |0| = 0 \quad \text{при } x = 0$$

Максимума функция не имеет — значения неограниченно возрастают при удалении от нуля в любую сторону.

Общая форма y = a·|x − h| + k

При a > 0 — вершина является точкой минимума: $$y_{\min} = k \quad \text{при } x = h$$ Максимум отсутствует (функция не ограничена сверху).
При a < 0 — вершина является точкой максимума: $$y_{\max} = k \quad \text{при } x = h$$ Минимум отсутствует (функция не ограничена снизу).

В обоих случаях экстремум достигается в вершине V-образного графика — в точке (h; k).

Производная функции с модулем

Функция y = |x| дифференцируема всюду, кроме точки x = 0, где график имеет излом (угловую точку). Производная записывается как:

$$y’ = (|x|)’ = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}$$

Это можно компактно записать через знаковую функцию:

$$y’ = \frac{x}{|x|} = \operatorname{sgn}(x), \quad x \neq 0$$

В точке x = 0 производная не существует, так как левая производная равна −1, а правая равна +1 — они не совпадают.

Производная общей формы y = a·|x − h| + k

$$y’ = a \cdot \frac{x – h}{|x – h|} = a \cdot \operatorname{sgn}(x – h), \quad x \neq h$$

При x > h производная равна a, при x < h равна −a. В точке x = h производная не определена.

Первообразная (интеграл) функции с модулем

Неопределённый интеграл функции y = |x| вычисляется с учётом знака аргумента:

$$\int |x|\, dx = \frac{x \cdot |x|}{2} + C$$

Эту формулу можно проверить, раскрыв модуль по участкам:

При x ≥ 0: ∫|x| dx = ∫x dx = x² / 2 + C
При x < 0: ∫|x| dx = ∫(−x) dx = −x² / 2 + C

Обе ветви объединяются в единую компактную запись:

$$\int |x|\, dx = \frac{x \cdot |x|}{2} + C = \frac{x^2 \cdot \operatorname{sgn}(x)}{2} + C$$

Первообразная общей формы y = a·|x − h| + k

$$\int \bigl(a|x – h| + k\bigr)\, dx = \frac{a(x – h)|x – h|}{2} + kx + C$$

Типичный пример: таблица значений для y = |x|

Рассмотрим базовую функцию y = |x| и вычислим её значения в нескольких характерных точках. Это поможет построить график по точкам:

x	Подстановка	y = \|x\|
−4	y = \|−4\| = 4	4
−3	y = \|−3\| = 3	3
−2	y = \|−2\| = 2	2
−1	y = \|−1\| = 1	1
0	y = \|0\| = 0	0
1	y = \|1\| = 1	1
2	y = \|2\| = 2	2
3	y = \|3\| = 3	3
4	y = \|4\| = 4	4

Из таблицы видно, что значения функции симметричны: y(−x) = y(x). Это подтверждает, что функция y = |x| является чётной. Минимальное значение y = 0 достигается в точке x = 0 — вершине V-образного графика.

Пример с преобразованной функцией: y = 2·|x − 1| − 3

Рассмотрим функцию y = 2·|x − 1| − 3. Здесь a = 2, h = 1, k = −3. Вершина графика находится в точке (1; −3), ветви направлены вверх.

x	Подстановка	y = 2·\|x − 1\| − 3
−2	y = 2·\|−2 − 1\| − 3 = 2·3 − 3 = 3	3
−1	y = 2·\|−1 − 1\| − 3 = 2·2 − 3 = 1	1
0	y = 2·\|0 − 1\| − 3 = 2·1 − 3 = −1	−1
1	y = 2·\|1 − 1\| − 3 = 2·0 − 3 = −3	−3
2	y = 2·\|2 − 1\| − 3 = 2·1 − 3 = −1	−1
3	y = 2·\|3 − 1\| − 3 = 2·2 − 3 = 1	1
4	y = 2·\|4 − 1\| − 3 = 2·3 − 3 = 3	3

Вершина графика — точка (1; −3), что соответствует минимуму функции. Область определения: все действительные числа. Область значений: [−3; +∞).

Сводка основных свойств функции y = |x|

Свойство	Значение
Общая формула	y = a·\|x − h\| + k
Область определения	(−∞; +∞)
Область значений (a > 0)	[k; +∞)
Область значений (a < 0)	(−∞; k]
Чётность	Чётная (при h = 0, k = 0)
Непрерывность	Непрерывна на всей числовой прямой
Дифференцируемость	Всюду, кроме x = h (точка излома)
Вершина графика	(h; k)
Производная (x ≠ h)	y’ = a·sgn(x − h)
Первообразная	a(x − h)\|x − h\| / 2 + kx + C

x	Подстановка	y = \|x\|
−4	y = \|−4\| = 4	4
−3	y = \|−3\| = 3	3
−2	y = \|−2\| = 2	2
−1	y = \|−1\| = 1	1
0	y = \|0\| = 0	0
1	y = \|1\| = 1	1
2	y = \|2\| = 2	2
3	y = \|3\| = 3	3
4	y = \|4\| = 4	4