Как построить график гиперболы
График гиперболы — построение, свойства и примеры
Гипербола — это кривая на плоскости, представляющая собой геометрическое место точек, абсолютная разность расстояний от которых до двух фиксированных точек (фокусов) постоянна. В аналитической геометрии каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат и осями симметрии, совпадающими с координатными осями, записывается в виде:
$$\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$$
Гипербола состоит из двух отдельных ветвей, расположенных симметрично относительно центра. Каждая ветвь неограниченно приближается к прямым, называемым асимптотами, но никогда их не пересекает. Уравнения асимптот:
$$y = \pm\,\frac{b}{a}\,x$$
Гипербола широко применяется в физике (траектории тел в гравитационном поле при достаточной энергии), навигации (гиперболические системы позиционирования), оптике и архитектуре (гиперболоидные конструкции). Понимание её свойств — важная часть курса аналитической геометрии и математического анализа.
Значение каждой переменной
Каноническое уравнение гиперболы содержит несколько ключевых параметров. Ниже приведена расшифровка каждого из них.
| Переменная | Описание |
|---|---|
| x, y | Координаты произвольной точки, лежащей на гиперболе |
| a | Действительная (вещественная) полуось — расстояние от центра гиперболы до каждой из вершин вдоль оси, на которой расположены ветви (a > 0) |
| b | Мнимая полуось — параметр, определяющий степень «раскрытия» ветвей гиперболы (b > 0). Мнимая полуось задаёт наклон асимптот |
| c | Фокальное расстояние — расстояние от центра до каждого из фокусов, связанное с полуосями соотношением c² = a² + b² |
| e | Эксцентриситет — отношение e = c / a, характеризующее «вытянутость» гиперболы. Для любой гиперболы e > 1 |
Связь фокального расстояния с полуосями:
$$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$
Область определения
Гипербола не является функцией в классическом смысле, поскольку одному значению x могут соответствовать два значения y. Однако каждую ветвь можно рассматривать как функцию. Из канонического уравнения выразим y:
$$y = \pm\,\frac{b}{a}\,\sqrt{x^2 – a^2}$$
Подкоренное выражение неотрицательно при x² ≥ a², то есть при x ≤ −a или x ≥ a. Таким образом:
$$D(x) = (-\infty;\,-a\,] \cup [\,a;\,+\infty)$$
Это означает, что между вершинами (на отрезке от −a до a) точек гиперболы нет — там проходит «пустая» область между двумя ветвями.
Область значений
Поскольку каждая ветвь гиперболы уходит в бесконечность вдоль оси y, а при x = ±a значение y = 0, область значений охватывает всю числовую прямую:
$$E(y) = (-\infty;\,+\infty)$$
Если рассматривать только верхнюю ветвь (знак «+»), то E(y) = [0; +∞). Для нижней ветви (знак «−») — E(y) = (−∞; 0].
Максимум и минимум
Гипербола в целом (обе ветви) не имеет ни глобального максимума, ни глобального минимума, так как y принимает сколь угодно большие и сколь угодно малые значения. Однако при рассмотрении отдельных ветвей:
Верхняя ветвь
Функция y = (b/a)⋅√(x² − a²) достигает глобального минимума в вершинах гиперболы:
$$y_{\min} = 0 \quad \text{при } x = \pm\,a$$
Максимум отсутствует — ветвь неограниченно возрастает.
Нижняя ветвь
Функция y = −(b/a)⋅√(x² − a²) достигает глобального максимума в вершинах:
$$y_{\max} = 0 \quad \text{при } x = \pm\,a$$
Минимум отсутствует — ветвь неограниченно убывает.
Производная
Для верхней ветви гиперболы y = (b/a)⋅√(x² − a²) производная по x находится по правилу дифференцирования сложной функции:
$$y’ = \frac{b \cdot x}{a\,\sqrt{x^2 – a^2}}$$
Для нижней ветви знак меняется на противоположный:
$$y’ = -\,\frac{b \cdot x}{a\,\sqrt{x^2 – a^2}}$$
Производная не определена при x = ±a (вершины), что соответствует вертикальным касательным в этих точках. При x → ±∞ значение y′ стремится к ±b/a — наклону асимптот.
Также полезна неявная производная. Дифференцируя обе части канонического уравнения по x:
$$\frac{2x}{a^2} – \frac{2y \cdot y’}{b^2} = 0 \quad \Longrightarrow \quad y’ = \frac{b^2\,x}{a^2\,y}$$
Первообразная
Интеграл верхней ветви гиперболы y = (b/a)⋅√(x² − a²) вычисляется с помощью табличного интеграла вида ∫√(x² − a²) dx:
$$\int \frac{b}{a}\,\sqrt{x^2 – a^2}\;dx = \frac{b}{a}\left(\frac{x\,\sqrt{x^2 – a^2}}{2} – \frac{a^2}{2}\ln\left|x + \sqrt{x^2 – a^2}\right|\right) + C$$
Здесь C — произвольная постоянная интегрирования. Для нижней ветви результат отличается только знаком (множитель −b/a вместо b/a).
Типичный пример с таблицей значений
Рассмотрим гиперболу с полуосями a = 3 и b = 4. Каноническое уравнение принимает вид:
$$\frac{x^2}{9} – \frac{y^2}{16} = 1$$
Основные характеристики данной гиперболы:
- Вершины: (±3, 0)
- Фокусы: (±5, 0), так как c = √(9 + 16) = 5
- Эксцентриситет: e = 5 / 3 ≈ 1,667
- Асимптоты: y = ±(4/3)x
Выразим верхнюю ветвь: y = (4/3)⋅√(x² − 9). Ниже приведена таблица значений для обеих ветвей.
| x | x² − 9 | y (верхняя ветвь) | y (нижняя ветвь) |
|---|---|---|---|
| −7 | 40 | 4√(40) / 3 ≈ 8,43 | −4√(40) / 3 ≈ −8,43 |
| −5 | 16 | 4 ⋅ 4 / 3 ≈ 5,33 | −4 ⋅ 4 / 3 ≈ −5,33 |
| −3 | 0 | 0 | 0 |
| 3 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 16 | 4 ⋅ 4 / 3 ≈ 5,33 | −4 ⋅ 4 / 3 ≈ −5,33 |
| 7 | 40 | 4√(40) / 3 ≈ 8,43 | −4√(40) / 3 ≈ −8,43 |
| 10 | 91 | 4√(91) / 3 ≈ 12,72 | −4√(91) / 3 ≈ −12,72 |
Из таблицы видно, что при удалении от вершин значения y быстро растут по модулю. В вершинах (x = ±3) обе ветви сходятся в точках на оси x, а при x → ±∞ ветви всё точнее приближаются к асимптотам y = ±(4/3)x, никогда их не достигая.
Порядок построения графика
- Отметьте на оси x вершины: точки (−3, 0) и (3, 0).
- Отметьте на оси y точки (0, −4) и (0, 4) — концы мнимой полуоси.
- Постройте прямоугольник со сторонами 2a = 6 и 2b = 8, центрированный в начале координат.
- Проведите диагонали прямоугольника — это и есть асимптоты y = ±(4/3)x.
- Нанесите точки из таблицы значений и плавно соедините их, следя за тем, чтобы ветви приближались к асимптотам, но не пересекали их.
- Отметьте фокусы (−5, 0) и (5, 0) для полноты картины.