Кол-во функций:

Онлайн калькулятор графиков функций

Построить график функции — это бесплатный интерактивный инструмент, который позволяет строить графики любых математических функций прямо в браузере, без установки программ. С его помощью вы можете визуализировать поведение функций, анализировать их свойства и наглядно видеть зависимость между переменными.

Калькулятор поддерживает построение графиков линейных, квадратных, кубических, показательных, логарифмических, тригонометрических, модульных и составных функций. Он подходит для школьников, студентов, преподавателей и всех, кто изучает или применяет математику.

Кому полезен калькулятор

Школьникам — для подготовки к контрольным, ЕГЭ, ДПА, олимпиадам и домашним заданиям.
Студентам — при изучении высшей математики, анализа функций и сложных выражений.
Преподавателям — для наглядной демонстрации графиков на занятиях.
Самоучкам и родителям — для понятного объяснения математических тем.

Примеры решаемых задач

Построение графика функции и нахождение её нулей
Определение промежутков знакопостоянства
Анализ симметрии и периодичности
Нахождение точек пересечения функций
Проверка решений уравнений и неравенств через график

Возможности калькулятора

Построение нескольких функций на одном графике
Поддержка модулей, корней, степеней, логарифмов и тригонометрии
Интерактивное управление: зум, прокрутка, изменение области просмотра
Подсветка нулей функции, пересечений с осями и экстремумов
Гибкий ввод формул: sin, cos, sqrt, abs, exp
Работа на ПК, планшетах и смартфонах без установки
Поддержка констант: PI (π ≈ 3.14159), E (e ≈ 2.71828)

Как пользоваться

Введите формулу функции (например: y = 2*x + 3)
Нажмите кнопку «Построить»
Анализируйте график и его свойства
При необходимости используйте кнопку «Очистить»

Типовые функции

Тип функции	Формула	Пример для ввода	Особенности
Алгебраические функции
Линейная	y = kx + b	`2 * x - 1`	Прямая линия
Парабола	y = ax² + bx + c	`x^2 - 3 * x + 2`	Квадратичная; ветви вверх/вниз
Кубическая	y = ax³ + …	`x^3 - x`	Точка перегиба; нечётная при a·x³
Гипербола	y = k / x	`1 / x`	Вертикальная асимптота x = 0
Степенная	y = xⁿ	`x^4`	Чётная/нечётная в зависимости от n
Обратная степенная	y = x⁻ⁿ	`x^(-2)`	Эквивалент 1 / x²; асимптота при x = 0
Квадратный корень	y = √x	`sqrt(x)`	Область определения x ≥ 0
Кубический корень	y = ∛x	`cbrt(x)`	Определена для всех x; нечётная
Модуль	y = \|x\|	`abs(x)`	Всегда y ≥ 0; излом в x = 0
Показательные и логарифмические
Показательная	y = a^x	`2^x`	Быстрый рост; всегда y > 0
Экспонента	y = e^x	`exp(x)`	Основание e ≈ 2.718
Натуральный логарифм	y = ln x	`log(x)`	В function-plot `log` = ln; x > 0
Десятичный логарифм	y = log₁₀ x	`log(x) / log(10)`	Через замену основания; x > 0
Логарифм по основанию 2	y = log₂ x	`log(x) / log(2)`	Через замену основания; x > 0
Тригонометрические (аргумент в радианах)
Синус	y = sin x	`sin(x)`	Период 2π; диапазон [−1, 1]
Косинус	y = cos x	`cos(x)`	Период 2π; диапазон [−1, 1]
Тангенс	y = tg x	`tan(x)`	Вертикальные асимптоты при π/2 + πn
Котангенс	y = ctg x	`1 / tan(x)`	Асимптоты при πn; `cot` не встроен
Секанс	y = sec x	`1 / cos(x)`	Асимптоты при π/2 + πn; `sec` не встроен
Косеканс	y = csc x	`1 / sin(x)`	Асимптоты при πn; `csc` не встроен
Обратные тригонометрические
Арксинус	y = arcsin x	`asin(x)`	x ∈ [−1, 1]; y ∈ [−π/2, π/2]
Арккосинус	y = arccos x	`acos(x)`	x ∈ [−1, 1]; y ∈ [0, π]
Арктангенс	y = arctg x	`atan(x)`	Горизонтальные асимптоты ±π/2
Арккотангенс	y = arcctg x	`PI / 2 - atan(x)`	Через тождество; y ∈ (0, π)
Арксеканс	y = arcsec x	`acos(1 / x)`	\|x\| ≥ 1; через acos
Арккосеканс	y = arccsc x	`asin(1 / x)`	\|x\| ≥ 1; через asin

Как построить график экспоненты

Экспонента — график функции y = eˣ, свойства и примеры

Полный разбор экспоненциальной функции: область определения, область значений, производная, первообразная и таблица значений

Описание экспоненциальной функции

Экспонента — одна из важнейших функций в математике, описывающая процесс непрерывного экспоненциального роста или убывания. Экспоненциальная функция встречается повсеместно: от моделирования роста популяций и радиоактивного распада до расчёта сложных процентов в финансах и описания электрических цепей в физике.

Общая формула экспоненциальной функции:

$$y = e^{x}$$

где e — число Эйлера, иррациональная математическая константа, приблизительно равная 2,71828…. Это основание натурального логарифма, которое обладает уникальным свойством: функция $ y = e^x $ является единственной функцией, равной своей собственной производной.

График экспоненты представляет собой гладкую, непрерывную кривую, которая проходит через точку (0, 1), стремительно возрастает при положительных значениях аргумента и асимптотически приближается к оси Ox при отрицательных. Кривая всегда расположена строго выше оси абсцисс — экспонента никогда не принимает нулевых или отрицательных значений.

Значение переменных в формуле y = eˣ

Разберём каждый элемент, входящий в запись экспоненциальной функции:

Переменная	Название	Описание
y	Зависимая переменная (функция)	Значение экспоненциальной функции в точке x. Представляет результат возведения числа e в степень x. Всегда принимает строго положительные значения: y > 0 при любом x.
e	Число Эйлера (основание)	Иррациональная константа, e ≈ 2,71828. Основание натурального логарифма. Определяется как предел: e = lim(n→∞) (1 + 1/n)ⁿ. Это единственное основание, при котором производная показательной функции равна самой функции.
x	Независимая переменная (аргумент)	Показатель степени, в которую возводится число e. Может принимать любое действительное значение: от −∞ до +∞. Определяет скорость роста или убывания функции.

В обобщённой форме экспоненциальная функция может записываться как:

$$y = a \cdot e^{kx}$$

Параметр	Название	Влияние на график
a	Коэффициент масштабирования	Растягивает или сжимает график по вертикали. При a > 0 график расположен выше оси Ox, при a < 0 — отражён относительно оси Ox. Значение \|a\| определяет начальное значение функции при x = 0.
k	Показатель скорости	Определяет скорость роста (k > 0) или убывания (k < 0) функции. Чем больше \|k\|, тем быстрее функция растёт или убывает.

Область определения экспоненты

Экспоненциальная функция определена для всех действительных чисел без каких-либо ограничений. Не существует ни одного значения x, при котором выражение e^x было бы не определено.

$$D(y) = \mathbb{R} = (-\infty;\; +\infty)$$

Это означает, что аргумент x может быть любым числом: положительным, отрицательным, нулём, рациональным или иррациональным. Функция непрерывна на всей числовой прямой и не имеет точек разрыва.

Область значений экспоненты

Экспонента принимает только строго положительные значения. Функция никогда не обращается в ноль и не принимает отрицательных значений, однако может быть сколь угодно близка к нулю при больших отрицательных x.

$$E(y) = (0;\; +\infty)$$

При x → −∞ значение функции стремится к нулю: e^x → 0⁺
При x = 0 функция равна единице: e⁰ = 1
При x → +∞ значение функции неограниченно растёт: e^x → +∞

Горизонтальная асимптота графика — прямая y = 0 (ось абсцисс). График приближается к ней слева, но никогда не касается и не пересекает её.

Максимум и минимум экспоненциальной функции

Экспоненциальная функция y = e^x является строго возрастающей на всей области определения. Это означает, что она не имеет ни локальных, ни глобальных экстремумов — ни максимумов, ни минимумов.

Свойство	Значение	Пояснение
Глобальный максимум	Не существует	Функция неограниченно возрастает при x → +∞
Глобальный минимум	Не существует	Функция стремится к 0, но никогда его не достигает
Локальные экстремумы	Отсутствуют	Производная e^x > 0 при всех x — функция строго монотонна
Инфимум (точная нижняя грань)	0	Наибольшая нижняя граница, не достигаемая функцией
Супремум (точная верхняя грань)	+∞	Функция не ограничена сверху

Строгое возрастание экспоненты формально записывается так: для любых x₁ < x₂ выполняется e^x₁ < e^x₂. Именно поэтому экспоненциальная функция является обратимой — её обратная функция есть натуральный логарифм ln(x).

Производная экспоненциальной функции

Главное и самое замечательное свойство экспоненты — она является единственной элементарной функцией, производная которой равна самой себе. Это фундаментальное свойство лежит в основе решения дифференциальных уравнений и всей теории экспоненциального роста.

$$(e^{x})’ = e^{x}$$

Для обобщённой формы справедливы следующие правила дифференцирования:

Функция	Производная	Комментарий
f(x) = eˣ	f'(x) = eˣ	Базовый случай
f(x) = e^(kx)	f'(x) = k · e^(kx)	Линейный аргумент, k — константа
f(x) = a · eˣ	f'(x) = a · eˣ	Константный множитель выносится
f(x) = e^(g(x))	f'(x) = g'(x) · e^(g(x))	Сложная функция (цепное правило)

Производные высших порядков также равны самой функции:

$$\frac{d^{\,n}}{dx^{n}}\,e^{x} = e^{x}, \quad n \in \mathbb{N}$$

Это свойство делает экспоненту незаменимой при решении линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Первообразная (интеграл) экспоненциальной функции

Поскольку производная экспоненты равна самой себе, первообразная функции e^x также равна e^x с точностью до произвольной константы интегрирования.

$$\int e^{x}\,dx = e^{x} + C$$

Основные табличные интегралы, связанные с экспонентой:

Подынтегральная функция	Первообразная	Условие
eˣ	eˣ + C	—
e^(kx)	(1/k) · e^(kx) + C	k ≠ 0
x · eˣ	(x − 1) · eˣ + C	Интегрирование по частям
e^(x²)	Не выражается через элементарные функции	Связан с функцией ошибок erf(x)

Определённый интеграл экспоненты на отрезке [a, b]:

$$\int_{a}^{b} e^{x}\,dx = e^{b} – e^{a}$$

Пример: таблица значений функции y = eˣ

Рассмотрим конкретные значения экспоненциальной функции для характерных точек. Таблица наглядно демонстрирует стремительный рост функции при увеличении аргумента и приближение к нулю при его уменьшении.

x	eˣ (точное значение)	eˣ (приближённо)	Характеристика
−3	e⁻³ = 1/e³	≈ 0,0498	Близко к нулю
−2	e⁻² = 1/e²	≈ 0,1353	Малое положительное значение
−1	e⁻¹ = 1/e	≈ 0,3679	Обратное число Эйлера
0	e⁰ = 1	= 1,0000	Ключевая точка: график пересекает ось Oy
1	e¹ = e	≈ 2,7183	Значение равно числу Эйлера
2	e²	≈ 7,3891	Быстрый рост
3	e³	≈ 20,0855	Стремительный рост
5	e⁵	≈ 148,4132	Экспоненциальный взрыв
10	e¹⁰	≈ 22 026,4658	Огромное значение

Пример вычисления

Задача: Найти значение функции y = e^x при x = 2, вычислить производную и первообразную в этой точке.

Решение:

Значение функции: y(2) = e² ≈ 7,3891
Производная в точке: y'(2) = e² ≈ 7,3891 (производная экспоненты равна самой функции)
Определённый интеграл от 0 до 2:

$$\int_{0}^{2} e^{x}\,dx = e^{2} – e^{0} = e^{2} – 1 \approx 7{,}3891 – 1 = 6{,}3891$$

Геометрически это значение представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком экспоненты, осью Ox и вертикальными прямыми x = 0, x = 2.

Сводная таблица свойств функции y = eˣ

Все ключевые характеристики экспоненциальной функции в одной таблице:

Свойство	Значение
Формула	y = eˣ
Область определения	(−∞; +∞)
Область значений	(0; +∞)
Точка пересечения с осью Oy	(0; 1)
Точки пересечения с осью Ox	Отсутствуют
Горизонтальная асимптота	y = 0 (при x → −∞)
Вертикальная асимптота	Отсутствует
Монотонность	Строго возрастает на (−∞; +∞)
Экстремумы	Отсутствуют
Выпуклость	Выпукла вниз на всей области определения
Точки перегиба	Отсутствуют
Чётность	Не является ни чётной, ни нечётной
Периодичность	Не периодическая
Производная	(eˣ)’ = eˣ
Первообразная	∫eˣ dx = eˣ + C
Обратная функция	y = ln(x)