Как построить график кубического корня
Описание графика
Кубический корень — это функция, обратная к кубической функции y = x^3. Она задаётся формулой:
$$y = \sqrt[3]{x}$$
Эту формулу также можно записать в эквивалентном виде:
$$y = x^{\,1/3}$$
График кубического корня представляет собой плавную непрерывную кривую, которая проходит через начало координат и симметрична относительно этого начала. В отличие от квадратного корня, кубический корень определён для всех действительных чисел, включая отрицательные. Кривая монотонно возрастает на всей числовой прямой: при отрицательных значениях аргумента она расположена в третьей координатной четверти, а при положительных — в первой. Функция является нечётной, то есть её график обладает центральной симметрией относительно точки (0; 0). Рост функции замедляется по мере увеличения абсолютного значения аргумента — кривая становится всё более пологой, но никогда не выходит на горизонтальную асимптоту.
Значение переменных
| Переменная | Описание |
|---|---|
| x | Независимая переменная (аргумент функции). Представляет значение, подставляемое под знак кубического корня. Принимает любое действительное число от −∞ до +∞. |
| y | Зависимая переменная (значение функции). Результат вычисления кубического корня из x, то есть y = ∛x. Также принимает любое действительное значение. |
Связь между переменными задаётся соотношением: если y = \sqrt[3]{x}, то y^3 = x. Иными словами, y — это число, куб которого равен x.
Область определения
Кубический корень определён для любого действительного числа. В отличие от корня чётной степени, извлечение кубического корня из отрицательного числа даёт действительный результат. Область определения записывается так:
$$D(f) = (-\infty;\;+\infty) = \mathbb{R}$$
Это означает, что в формулу y = \sqrt[3]{x} можно подставить любое значение x — положительное, отрицательное или нуль — и получить корректный результат.
Область значений
Поскольку функция непрерывна и монотонно возрастает на всей числовой прямой, её значения покрывают всё множество действительных чисел:
$$E(f) = (-\infty;\;+\infty) = \mathbb{R}$$
При x \to +\infty функция неограниченно растёт, а при x \to -\infty — неограниченно убывает. Таким образом, для любого наперёд заданного числа y найдётся такое x, что \sqrt[3]{x} = y.
Максимум и минимум функции
Функция кубического корня не имеет ни локальных, ни глобальных экстремумов. Это следует из того, что она строго монотонно возрастает на всей области определения:
$$\text{Если } x_1 < x_2, \text{ то } \sqrt[3]{x_1} < \sqrt[3]{x_2}$$
- Глобальный максимум: не существует, так как \lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x} = +\infty.
- Глобальный минимум: не существует, так как \lim\limits_{x \to -\infty} \sqrt[3]{x} = -\infty.
- Локальные экстремумы: отсутствуют на всей числовой прямой.
Функция не достигает наибольшего или наименьшего значения ни на одном открытом интервале — она всегда продолжает расти.
Производная кубического корня
Для нахождения производной представим функцию в степенной форме y = x^{1/3} и применим стандартное правило дифференцирования степенной функции:
$$y’ = \frac{d}{dx}\left(x^{1/3}\right) = \frac{1}{3}\,x^{-2/3} = \frac{1}{3\,\sqrt[3]{x^2}}$$
Производная определена при всех x \neq 0. В точке x = 0 производная не существует — касательная к графику в начале координат является вертикальной прямой, что соответствует бесконечно большому значению углового коэффициента:
$$\lim_{x \to 0} y’ = \lim_{x \to 0} \frac{1}{3\,\sqrt[3]{x^2}} = +\infty$$
При всех x \neq 0 производная положительна (y’ > 0), что подтверждает строгое возрастание функции. С ростом |x| значение производной убывает и стремится к нулю — график становится всё более пологим.
Первообразная (неопределённый интеграл)
Для вычисления первообразной используем степенное представление функции и стандартную формулу интегрирования:
$$\int \sqrt[3]{x}\;dx = \int x^{1/3}\;dx = \frac{x^{\,4/3}}{4/3} + C = \frac{3}{4}\,x^{\,4/3} + C$$
Или, возвращаясь к радикальной записи:
$$\int \sqrt[3]{x}\;dx = \frac{3}{4}\,\sqrt[3]{x^4} + C$$
Здесь C — произвольная постоянная интегрирования. Формула справедлива для всех действительных значений x.
Пример: таблица значений кубического корня
Рассмотрим конкретные значения функции y = \sqrt[3]{x}, чтобы наглядно увидеть, как меняется результат при различных аргументах. Значения округлены до сотых.
| x | y = ∛x | Пояснение |
|---|---|---|
| −27 | −3 | (−3)³ = −27, поэтому ∛(−27) = −3 |
| −8 | −2 | (−2)³ = −8, поэтому ∛(−8) = −2 |
| −1 | −1 | (−1)³ = −1, поэтому ∛(−1) = −1 |
| 0 | 0 | 0³ = 0, поэтому ∛0 = 0 |
| 1 | 1 | 1³ = 1, поэтому ∛1 = 1 |
| 2 | ≈ 1.26 | 1.26³ ≈ 2, поэтому ∛2 ≈ 1.26 |
| 8 | 2 | 2³ = 8, поэтому ∛8 = 2 |
| 27 | 3 | 3³ = 27, поэтому ∛27 = 3 |
| 64 | 4 | 4³ = 64, поэтому ∛64 = 4 |
| 125 | 5 | 5³ = 125, поэтому ∛125 = 5 |
Из таблицы видно, что функция растёт при увеличении x, но скорость роста постепенно уменьшается. Например, при переходе от x = 0 к x = 8 значение функции увеличивается на 2, тогда как при переходе от x = 8 к x = 64 — тоже на 2, хотя разница аргументов в 7 раз больше. Это наглядно демонстрирует замедление роста кубического корня.