Как построить график логарифмической функции

Логарифмическая функция y = log_a(x) — график, свойства и примеры

Логарифмическая функция — это функция вида:

$$y = \log_{a}(x)$$

где a — основание логарифма, причём a > 0 и a ≠ 1. Логарифмическая функция является обратной к показательной функции y = a^x. Это означает, что если a^y = x, то y = log_a(x).

График логарифмической функции называется логарифмической кривой. Он всегда проходит через точку (1; 0), поскольку логарифм единицы при любом допустимом основании равен нулю. Кривая расположена целиком в правой полуплоскости (x > 0) и не пересекает ось ординат, а лишь неограниченно к ней приближается — прямая x = 0 является вертикальной асимптотой.

При основании a > 1 функция монотонно возрастает: чем больше x, тем больше y. При основании 0 < a < 1 функция монотонно убывает. Наиболее распространённые частные случаи — десятичный логарифм (log₁₀(x), обозначается lg(x)) и натуральный логарифм (log_e(x), обозначается ln(x), где e ≈ 2,718).

Значение переменных в формуле y = log_a(x)

Переменная	Описание	Допустимые значения
x	Аргумент функции (подлогарифмическое выражение)	x > 0
y	Значение функции — показатель степени, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить x	Любое действительное число
a	Основание логарифма — фиксированная положительная константа, определяющая «скорость» роста или убывания	a > 0, a ≠ 1

Связь между переменными выражается тождеством:

$$a^{\,y} = x \;\;\Longleftrightarrow\;\; y = \log_{a}(x)$$

Область определения логарифмической функции

Логарифм определён только для строго положительных значений аргумента. Нельзя вычислить логарифм нуля или отрицательного числа в множестве действительных чисел.

$$D(y) = (0;\;+\infty) = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\}$$

Графически это означает, что кривая существует только правее оси y. Ось y (прямая x = 0) служит вертикальной асимптотой: при x → 0⁺ значение функции стремится к −∞ (при a > 1) или к +∞ (при 0 < a < 1).

Область значений логарифмической функции

Логарифмическая функция принимает все действительные значения — от минус бесконечности до плюс бесконечности:

$$E(y) = (-\infty;\;+\infty) = \mathbb{R}$$

Это следует из того, что показательная функция a^y при любом действительном y даёт положительное число, а значит, для каждого положительного x найдётся соответствующее y.

Максимум и минимум логарифмической функции

Логарифмическая функция y = log_a(x) является строго монотонной на всей области определения. Это означает:

• Функция не имеет точек локального максимума или минимума.
• Функция не имеет глобального максимума и глобального минимума.

Поведение на границах области определения:

$$\lim_{x \to 0^{+}} \log_{a}(x) = \begin{cases} -\infty, & a > 1 \\ +\infty, & 0 < a < 1 \end{cases}$$

$$\lim_{x \to +\infty} \log_{a}(x) = \begin{cases} +\infty, & a > 1 \\ -\infty, & 0 < a < 1 \end{cases}$$

Таким образом, функция неограниченно растёт (или убывает) при стремлении аргумента к бесконечности и к нулю, но ни в одной точке не достигает экстремума.

Производная логарифмической функции

Производная логарифмической функции по переменной x равна:

$$\left(\log_{a}(x)\right)’ = \frac{1}{x \ln a}$$

Для натурального логарифма формула упрощается:

$$\left(\ln x\right)’ = \frac{1}{x}$$

Знак производной зависит от основания:

• При a > 1: ln(a) > 0, поэтому производная положительна для всех x > 0 — функция возрастает.
• При 0 < a < 1: ln(a) < 0, поэтому производная отрицательна для всех x > 0 — функция убывает.

Вторая производная:

$$\left(\log_{a}(x)\right)” = -\frac{1}{x^{2} \ln a}$$

При a > 1 вторая производная отрицательна, значит график выпуклый вверх (вогнутый). При 0 < a < 1 — выпуклый вниз.

Первообразная (интеграл) логарифмической функции

Неопределённый интеграл от логарифмической функции вычисляется интегрированием по частям:

$$\int \log_{a}(x)\,dx = \frac{x\,(\ln x – 1)}{\ln a} + C$$

Для натурального логарифма:

$$\int \ln x\,dx = x\ln x – x + C$$

где C — произвольная постоянная интегрирования.

Проверка дифференцированием:

$$\frac{d}{dx}\!\left(x\ln x – x + C\right) = \ln x + 1 – 1 = \ln x \;\;\checkmark$$

Пример: таблица значений для y = log₂(x)

Рассмотрим логарифмическую функцию с основанием 2. Для каждого значения x вычислим y = log₂(x), то есть найдём показатель степени, в которую нужно возвести 2, чтобы получить x.

x	y = log₂(x)	Пояснение
1/8	−3	2−3 = 1/8
1/4	−2	2−2 = 1/4
1/2	−1	2−1 = 1/2
1	0	20 = 1
2	1	21 = 2
4	2	22 = 4
8	3	23 = 8
16	4	24 = 16
32	5	25 = 32

Из таблицы видно: при удвоении аргумента значение функции увеличивается ровно на 1. Это ключевое свойство логарифма — он превращает умножение в сложение:

$$\log_{2}(2x) = \log_{2}(2) + \log_{2}(x) = 1 + \log_{2}(x)$$

Пример вычисления

Задача: Найти значение log₂(x) при x = 32.

Решение: Нужно определить, в какую степень возвести 2, чтобы получить 32. Поскольку 2⁵ = 32, ответ: log₂(32) = 5.

Сводная таблица свойств

Свойство	При a > 1	При 0 < a < 1
Область определения	(0; +∞)	(0; +∞)
Область значений	(−∞; +∞)	(−∞; +∞)
Монотонность	Возрастает	Убывает
Проходит через точку	(1; 0)	(1; 0)
При x → 0⁺	y → −∞	y → +∞
При x → +∞	y → +∞	y → −∞
Выпуклость графика	Выпуклый вверх	Выпуклый вниз
Вертикальная асимптота	x = 0	x = 0
Экстремумы	Отсутствуют	Отсутствуют